解開 St. Petersburg paradox

解開 St. Petersburg paradox

Petersburg paradox的問題是
既然報酬期望值是無窮，所以即使玩一次要一千萬元還是要玩
為什麼人們不願花大錢來賭呢？

一般流行的解答都是胡說八道
只是為了解釋強掰一個解釋
實際上根本文不對題

真正的解答是
這個遊戲的期望值是無限大，是在能玩無限次的前提之下

如果要花錢玩這個遊戲，由於預算有限，所以不可能玩無限次
因次要估計的是玩有限次數下的期望值

如果能玩N次，則玩N次的期望值會大於2^(logN/log2-1)*(logN/log2)

所以如果我的預算有C元

找出N使N滿足

2^(log(N-1)/log2-1)*(log(N-1)/log2) < C < 2^(logN/log2-1)*(logN/log2)

則只要每次遊戲金額小於 C/N 玩遊戲之期望值為正

所以如果

你的預算是10元，則你至少要能玩8次才能回本。所以每次成本必須小於10/8=1.25
你的預算是100元，則你至少要能玩39次才能回本。所以每次成本必須小於100/39=2.5641
你的預算是1000元，則你至少要能玩251次才能回本。所以每次成本必須小於1000/251=3.9840
你的預算是10000元，則你至少要能玩1844次才能回本。所以每次成本必須小於10000/1844=5.4229
你的預算是100000元，則你至少要能玩14471次才能回本。所以每次成本必須小於100000/14471=6.9103
你的預算是1000000元，則你至少要能玩118650次才能回本。所以每次成本必須小於1000000/118650=8.4281